\documentclass[10pt,loesungseite]{schuleab}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{schulinf}

% Dieses Dokument ist in der Zusammenarbeit von Informatikreferendaren und
% ehemaligen Informatikreferendaren der Studienseminare (heute ZfsL) Arnsberg,
% Hamm und Solingen entstanden.
%
% Das Dokument steht unter der Lizenz: Creative Commons by-nc-sa Version 4.0
% http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.de
%
% Nach dieser Lizenz darf das Dokument beliebig kopiert und bearbeitet werden,
% sofern das Folgeprodukt wiederum unter gleichen Lizenzbedingungen vertrieben
% und auf die ursprünglichen Urheber verwiesen wird.
% Eine kommerzielle Nutzung ist ausdrücklich ausgeschlossen.
%
% Die Namensnennung durch einen Verweis und die Lizenzangabe der ursprünglichen
% Urheber auf den Materialien für Schülerinnen und Schüler ist erforderlich.
%
% Die Sammlung der Dokumente steht unter
% http://ddi.uni-wuppertal.de/material/materialsammlung/
% zur Verfügung.
%
% Das LaTeX-Paket zum Setzen der Dokumente der Sammlung steht
% unter  http://www.ctan.org/pkg/schule
% zur Verfügung.

\usepackage[pdfauthor={Referendare der Informatikfachseminare Arnsberg, Hamm und Solingen}]{hyperref}
\includexmp{lizenz}
\cclizenz{byncsaeu}
\footerQRLink{materialsammlung_qr_url.pdf}

\svnid{$Id: ab_01_rechnen_im_binaersystem.tex 1077 2014-12-13 23:19:19Z humbert $}

\dokName{Rechnen im Binärsystem}
\jahrgang{9}


\begin{document}

\subsection*{Dezimalsystem}

Wir rechnen in der Regel im Dezimalsystem (10er-System). Dabei wird ausgenutzt, dass wir 10 Finger an den Händen haben. Wird beim Abzählen die 9 erreicht, so gehen wir eine Stelle nach vorne und wir haben die 10. Nach 10, 11, \dots, 19 folgt wieder ein Schritt auf die nächste Stelle. So kommt 20, 21, \dots, 29, 30 usw. Erreichen wir die 99, wird auf die dritte Stelle gewechselt.

Um aus den Ziffern, die hintereinander stehen, die Gesamtzahl zu bekommen, müssen die einzelnen Ziffern mit ihrer Wertigkeit multipliziert und anschließend addiert werden. So wird z.\,B. bei \(3048_{10}\) folgendes gerechnet:
\[ 3 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 = 3 \cdot 1000 +0 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 8 \cdot 1 = 3048_{10} \]

\subsection*{Binärsystem}

Im Binärsystem (2er-System) gibt es nur 0 und 1, ja und nein oder Strom aus und Strom ein. Hier wird beim Zählen aber ähnlich verfahren. Die Wechsel der Stellen erfolgt nur wesentlich früher. Nach 1 kommt schon 10. Darauf folgen direkt 11, 100, 101, 110, 111 und 1000.

Auch im Binärsystem werden die einzelnen Ziffern mit ihrer Wertigkeit multipliziert und anschließend addiert. Bei ihnen ist aber die Wertigkeit ein Vielfaches von Zwei. So wird aus \(110101_2 \) folgendes:
\[1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 53_{10} \]

\minisec{Aufgaben:}
\begin{smallenumerate}
	\item Lies dir den oberen Text durch. Nachdem dieses auch deine Mitschüler gemacht haben, erklärt einer für alle das System der Binären Zahlen und wie man eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umrechnet. Klärt dabei offene Fragen, so dass jeder das System verstanden hat.
	\item Rechne alleine folgende Binärzahlen in Dezimalzahlen um:
		\[ 101_{2} \qquad 101101_{2} \qquad 1111111_{2} \qquad 100001_{2} \qquad 10101010101_{2} \qquad 111000111000_{2} \]
	\item Suche eine Möglichkeit, wie man Dezimalzahlen in Binärzahlen umrechnen kann. Schreibe dieses System auf und wende dieses auf folgende Zahlen an:
		\[ 14_{10} \qquad 687_{10} \qquad 3683_{10} \qquad 200_{10} \qquad 256 _{10} \qquad 127_{10} \qquad 129_{10}  \]
	\item Mit der schriftlichen Addition kann man zwei Binärzahlen am einfachsten addieren. Addiere zur Übung zuvor \(147439_{10}\) und \(474331_{10}\) miteinander. Addiere anschließend folgenden Binärzahlen. Rechne die Summanden und Summe in Dezimalzahlen um, damit du deine Ergebnisse überprüfen kannst.
		\[ 1110111_{2} + 110100_{2} \qquad 10110101_{2} + 10011111_{2} \qquad 11101101_{2} + 101010_{2} \]
	\item Überprüfe, ob es auch möglich ist, die schriftliche Subtraktion auf binäre Zahlen anwenden zu können. Übe zuvor mit \(4831_{10}\) und \(3480_{10}\), bevor du die folgenden Zahlen voneinander abziehst:
	\[ 101110010_{2} - 10111_{2} \qquad 10011011_{2} - 10010001_{2} \qquad 1101011101_{2} - 110101110_{2} \]
	\item Lassen sich diese schriftlichen Verfahren auf Multiplikation und Division auch übertragen? Erforsche dieses an eigenen Zahlen.
	\item Ähnlich einfach wie das Mulitplizieren bzw. Dividieren mit 10 bei Dezimalzahlen ist auch die Multiplikation und Division mit 2 bei Binärzahlen. Schreibe auf, wie beides funktioniert. Erprobe es zuvor an Beispielen und schau dir diese genauer an. Hinweis: Die Zahlen bei der Division müssen sich durch 10 bzw. 2 teilen lassen.
\end{smallenumerate}

\loesung{
\begin{smallenumerate}
	\item 
	\item 5 45 127 33 1365 3640
	\item 1110 1010101111 111001100011 11001000 100000000 1111111 10000000
	\item 
		\begin{smallitemize}
			\item \( 119_{10} + 52_{10} = 171_{10} = 10101011_{2} \)
			\item \( 181_{10} + 159_{10} = 340_{10} = 101010100_{2} \)
			\item \( 237_{10} + 42_{10} = 279_{10} = 100010111_{2} \)
		\end{smallitemize}
	\item
		\begin{smallitemize}
			\item \( 370_{10} - 23_{10} = 347_{10} = 101011011_{2} \)
			\item \( 155_{10} - 145_{10} = 10_{10} = 1010_{2} \)
			\item \( 861_{10} - 430_{10} = 431_{10} = 110101111_{2} \)
		\end{smallitemize}
\end{smallenumerate}
}

\end{document}
