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% Dieses Dokument ist in der Zusammenarbeit von Informatikreferendaren und
% ehemaligen Informatikreferendaren der Studienseminare (heute ZfsL) Arnsberg,
% Hamm und Solingen entstanden.
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\svnid{$Id: ab_02_zweierkomplement.tex 1077 2014-12-13 23:19:19Z humbert $}

\dokName{Rechnen im Binärsystem -- Zweierkomplement}
\jahrgang{9}


\begin{document}

\section*{Zweierkomplement}
In Informatiksystemen ist es auch nötig, mit negativen Zahlen zu arbeiten. Auch diese werden natürlich als Binärzahlen gespeichert. Außerdem muss das Vorzeichen durch Null oder Eins dargestellt werden. Dieses geschieht mit Hilfe des Zweierkomplements.

Beim Zweierkomplement wird zuvor festgelegt, aus wie vielen Stellen eine Zahl überhaupt bestehen darf. Jede Null oder Eins wird dabei als Bit bezeichnet. Eine Zahl, die maximal aus acht Nullen und Einsen besteht, wird daher als 8-Bit Zahl bezeichnet. Bei ihr gibt man immer die führenden Nullen mit an, wenn dieses nötig ist. So wird die Zahl \(6\) als 8-Bit-Zahl wie folgt dargestellt: \( 00000110_{2} \). Das vorderste Bit gibt dabei an, welches Vorzeichen die Zahl hat. Bei einer Null handelt es sich um eine positive und bei einer Eins um eine negative Zahl.

Bei der Zahl \( 10000110_{2} \) handelt es sich aber nicht um \(-6_{10} \) sondern um \(-122\). Die Zahl \(-6_{10}\) hat die Darstellung \( 11111010_{2} \). Das hat den Hintergrund, dass es auf diese Weise für den Rechner einfacher ist mit den entsprechenden Zahlen zu arbeiten. Führe dazu die folgenden Rechnungen mit schriftlicher Subtraktion der Binärzahlen durch. Beachte, dass du jeweils nur eine 8-Bit-Zahl hast. Solltest du das neunte Bit benötigen, wird dieses einfach ohne weitere Berücksichtigung gestrichen.

\[ 00000000_{2} - 00000001_{2} \quad 5_{10} - 7_{10} \qquad 0_{10} - 63_{10} \]

\minisec{Weitere Aufgaben}
\begin{smallenumerate}
	\item Erläutere schriftlich das System, wie sich die Zahlen -1, -2, -3, \dots im Zweierkomplement darstellen lassen.
	\item Addiere schriftlich folgende Zahlen und gib jeweils auch die Dezimalzahl mit an.
	\[ 00101101_{2} + 10101001_{2} \quad 10110101_{2} + 11111101_{2} \qquad 11010110_{2} + 00000011_{2} \]
	\item Gib an, welches die größte und welches die kleinste 4-, 8- bzw. 16-Bit-Zahl im Zweierkomplement ist. Schreibe dazu auch immer ihre binäre Darstellung.
	\item Überprüfe anhand von eigenen Beispielen, ob sich diese Rechnung auch auf die Multiplikation übertragen lässt.
\end{smallenumerate}

\loesung{
	\begin{smallenumerate}
		\item
		\item
		\begin{smallitemize}
			\item \(45_{10} - 87_{10} = -42_{10} = 11010110_{2} \)
			\item \(-75_{10} - 3_{10} = -78_{10} = 10110010_{2} \)
			\item \(-42_{10} + 3_{10} = -39_{10} = 11011001_{2} \)
		\end{smallitemize}
		\item	
		\begin{smallitemize}
			\item 4-Bit: 7 und -8
			\item 8-Bit: 127 und -128
			\item 16-Bit: 32767 und -32768
		\end{smallitemize}
	\end{smallenumerate}
}

\end{document}
