\documentclass[loesungseite]{schuleab}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{schulinf}

% Dieses Dokument ist in der Zusammenarbeit von Informatikreferendaren und
% ehemaligen Informatikreferendaren der Studienseminare (heute ZfsL) Arnsberg,
% Hamm und Solingen entstanden.
%
% Das Dokument steht unter der Lizenz: Creative Commons by-nc-sa Version 4.0
% http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.de
%
% Nach dieser Lizenz darf das Dokument beliebig kopiert und bearbeitet werden,
% sofern das Folgeprodukt wiederum unter gleichen Lizenzbedingungen vertrieben
% und auf die ursprünglichen Urheber verwiesen wird.
% Eine kommerzielle Nutzung ist ausdrücklich ausgeschlossen.
%
% Die Namensnennung durch einen Verweis und die Lizenzangabe der ursprünglichen
% Urheber auf den Materialien für Schülerinnen und Schüler ist erforderlich.
%
% Die Sammlung der Dokumente steht unter
% http://ddi.uni-wuppertal.de/material/materialsammlung/
% zur Verfügung.
%
% Das LaTeX-Paket zum Setzen der Dokumente der Sammlung steht
% unter  http://www.ctan.org/pkg/schule
% zur Verfügung.

\usepackage[pdfauthor={Referendare der Informatikfachseminare Arnsberg, Hamm und Solingen}]{hyperref}
\includexmp{lizenz}
\cclizenz{byncsaeu}
\footerQRLink{materialsammlung_qr_url.pdf}

\svnid{$Id: ab_01_ean-code.tex 626 2014-05-22 21:36:50Z pieper $}

\dokName{Prüfziffern}
\jahrgang{9}


\begin{document}

\section*{Prüfziffern beim EAN-Code}
EAN steht für European Article Number und ist die Bezeichnung für die Globale Artikelidentnummer, mit der alle Artikel im Handel ausgezeichnet werden. Mit verschiedenen Varianten wird diese in fast allen Ländern eingesetzt. Damit diese Daten maschinell verarbeitet werden können, werden sie mit einer Prüfziffer ausgestattet, die dafür sorgt, dass Fehler durch falsche Ziffern beim Eintippen und Zahlendreher zwischen zwei benachbarten Ziffern erkannt werden können.

Die eigentliche Produktnummer besteht aus zwölf Ziffern: \( a_1, a_2, \ldots , a_{12} \). Diesen zwölf Ziffern wird eine dreizehnte Ziffer \(a_{13}\) angefügt: \( a_1, a_2, \ldots , a_{12}, a_{13}\). Dabei muss folgende Regel erfüllt sein:
	\[ (a_1 + 3 \cdot a_2 + a_3 + 3 \cdot a_4 + \ldots  + a_{11} + 3\cdot a_{12} + a_{13}) \mod 10 = 0 \]

Ausformuliert bedeutet diese Formel, dass die geraden Ziffern mit drei multipliziert werden und dann alle Ziffern aufaddiert werden. Damit sich diese Summe durch zehn teilen lässt, wird die dreizehnte Ziffer entsprechend gewählt.

Am folgenden Beispiel kann man deutlich machen, wie die Prüfziffer bestimmt werden kann:
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\(a_{1}\) & \(a_{2}\) & \(a_{3}\) & \(a_{4}\) & \(a_{5}\) & \(a_{6}\) & \(a_{7}\) & \(a_{8}\) & \(a_{9}\) & \(a_{10}\) & \(a_{11}\) & \(a_{12}\) & \(a_{13}\) \\
		\hline
		7 & 4 & 4 & 6 & 8 & 7 & 5 & 1 & 4 & 4 & 9 & 3 & ? \\ 
		1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 \\
		7 & 12 & 4 & 18 & 8 & 21 & 5 & 3 & 4 & 12 & 9 & 9 & ? \\
		7 & 2 & 4 & 8 & 8 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 & 9 & 9 & ? \\
		7 & 2 & 4 & 8 & 8 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 & 9 & 9 & 8 \\
	\end{tabular}
\end{center}
Da es beim Endergebnis nur auf die letzte Ziffer ankommt, kann beim obigen Beispiel nach dem Multiplizieren mit 3 auf Teil größer als 10 verzichtet werden. Die Summe der zwölf Ziffern beträgt 62. Daher muss die Prüfziffer \(a_{13} \) den Wert 8 bekommen.

\subsection*{Aufgaben:}
\begin{enumerate}
	\item Berechne für folgende Zahlen die Prüfziffern: \\
		a) 834039461730 \quad b) 372948302200 \quad c) 372004830970
	\item Überprüfe, ob folgende EAN-Codes korrekt sind: \\
		a) 3927738200023 \quad b) 3728839215080 \quad c) 3847291773926
	\item Nimm einen korrekten EAN-Code und ändere dort eine oder mehrere Zahlen ab. Was kannst du nach der Überprüfung feststellen?
	\item Vertausche bei einem korrekten EAN-Code benachbarte Ziffern an verschiedenen Stellen. Gibt es Fälle, in denen du die Vertauschung nicht mit der Prüfziffer erkennen kannst? Wie sieht es mit der Vertauschung von Ziffern aus, die nicht benachbart sind?
\end{enumerate}

\loesung{
	\begin{enumerate}
		\item Prüfziffern
		\begin{smallenumerate}
			\item 2
			\item 8
			\item 1
		\end{smallenumerate}
		\item Korrektheit
		\begin{smallenumerate}
				\item nein, 1 wäre korrekt
				\item nein, 8 wäre korrekt
				\item ja
		\end{smallenumerate}
	\end{enumerate}
}


\end{document}